如何判定完美矩形

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

391.完美矩形(困难)

今天讲一道非常有意思,而且比较有难度的题目。

我们知道一个矩形有四个顶点,但是只要两个顶点的坐标就可以确定一个矩形了(比如左下角和右上角两个顶点坐标)。

今天来看看力扣第 391 题「完美矩形」,题目会给我们输入一个数组 rectangles,里面装着若干四元组 (x1,y1,x2,y2),每个四元组就是记录一个矩形的左下角和右上角坐标。

也就是说,输入的 rectangles 数组实际上就是很多小矩形,题目要求我们输出一个布尔值,判断这些小矩形能否构成一个「完美矩形」。函数签名如下:

def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool

所谓「完美矩形」,就是说 rectangles 中的小矩形拼成图形必须是一个大矩形,且大矩形中不能有重叠和空缺

比如说题目给我们举了几个例子:

这个题目难度是 Hard,如果没有做过类似的题目,还真做不出来。

常规的思路,起码要把最终形成的图形表示出来吧,而且你要有方法去判断两个矩形是否有重叠,是否有空隙,虽然可以做到,不过感觉异常复杂。

其实,想判断最终形成的图形是否是完美矩形,需要从「面积」和「顶点」两个角度来处理

先说说什么叫从「面积」的角度。

rectangles 数组中每个元素都是一个四元组 (x1, y1, x2, y2),表示一个小矩形的左下角顶点坐标和右上角顶点坐标。

那么假设这些小矩形最终形成了一个「完美矩形」,你会不会求这个完美矩形的左下角顶点坐标 (X1, Y1) 和右上角顶点的坐标 (X2, Y2)

这个很简单吧,左下角顶点 (X1, Y1) 就是 rectangles 中所有小矩形中最靠左下角的那个小矩形的左下角顶点;右上角顶点 (X2, Y2) 就是所有小矩形中最靠右上角的那个小矩形的右上角顶点。

注意我们用小写字母表示小矩形的坐标,大写字母表示最终形成的完美矩形的坐标,可以这样写代码:

# 左下角顶点,初始化为正无穷,以便记录最小值
X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
# 右上角顶点,初始化为负无穷,以便记录最大值
X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')
for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
# 取小矩形左下角顶点的最小值
X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
# 取小矩形右上角顶点的最大值
X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)

这样就能求出完美矩形的左下角顶点坐标 (X1, Y1) 和右上角顶点的坐标 (X2, Y2) 了。

计算出的 X1,Y1,X2,Y2 坐标是完美矩形的「理论坐标」,如果所有小矩形的面积之和不等于这个完美矩形的理论面积,那么说明最终形成的图形肯定存在空缺或者重叠,肯定不是完美矩形。

代码可以进一步:

def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool:
X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')
# 记录所有小矩形的面积之和
actual_area = 0
for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
# 计算完美矩形的理论坐标
X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)
# 累加所有小矩形的面积
actual_area += (x2 - x1) * (y2 - y1)
# 计算完美矩形的理论面积
expected_area = (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
# 面积应该相同
if actual_area != expected_area:
return False
return True

这样,「面积」这个维度就完成了,思路其实不难,无非就是假设最终形成的图形是个完美矩形,然后比较面积是否相等,如果不相等的话说明最终形成的图形一定存在空缺或者重叠部分,不是完美矩形。

但是反过来说,如果面积相同,是否可以证明最终形成的图形是完美矩形,一定不存在空缺或者重叠?

肯定是不行的,举个很简单的例子,你假想一个完美矩形,然后我在它中间挖掉一个小矩形,把这个小矩形向下平移一个单位。这样小矩形的面积之和没变,但是原来的完美矩形中就空缺了一部分,也重叠了一部分,已经不是完美矩形了。

综上,即便面积相同,并不能完全保证不存在空缺或者重叠,所以我们需要从「顶点」的维度来辅助判断

记得小学的时候有一道智力题,给你一个矩形,切一刀,剩下的图形有几个顶点?答案是,如果沿着对角线切,就剩 3 个顶点;如果横着或者竖着切,剩 4 个顶点;如果只切掉一个小角,那么会出现 5 个顶点。

回到这道题,我们接下来的分析也有那么一点智力题的味道。

显然,完美矩形一定只有四个顶点。矩形嘛,按理说应该有四个顶点,如果存在空缺或者重叠的话,肯定不是四个顶点,比如说题目的这两个例子就有不止 4 个顶点:

PS:我也不知道应该用「顶点」还是「角」来形容,好像都不太准确,本文统一用「顶点」来形容,大家理解就好~

只要我们想办法计算 rectangles 中的小矩形最终形成的图形有几个顶点,就能判断最终的图形是不是一个完美矩形了。

那么顶点是如何形成的呢?我们倒是一眼就可以看出来顶点在哪里,问题是如何让计算机,让算法知道某一个点是不是顶点呢?这也是本题的难点所在。

看下图的四种情况:

图中画红点的地方,什么时候是顶点,什么时候不是顶点?显然,情况一和情况三的时候是顶点,而情况二和情况四的时候不是顶点。

也就是说,当某一个点同时是 2 个或者 4 个小矩形的顶点时,该点最终不是顶点;当某一个点同时是 1 个或者 3 个小矩形的顶点时,该点最终是一个顶点

注意,2 和 4 都是偶数,1 和 3 都是奇数,我们想计算最终形成的图形中有几个顶点,也就是要筛选出那些出现了奇数次的顶点,可以这样写代码:

def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool:
X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')
actual_area = 0
# 哈希集合,记录最终图形的顶点
points = set()
for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)
actual_area += (x2 - x1) * (y2 - y1)
# 先算出小矩形每个点的坐标
p1, p2 = (x1, y1), (x1, y2)
p3, p4 = (x2, y1), (x2, y2)
# 对于每个点,如果存在集合中,删除它;
# 如果不存在集合中,添加它;
# 在集合中剩下的点都是出现奇数次的点
for p in [p1, p2, p3, p4]:
if p in points: points.remove(p)
else: points.add(p)
expected_area = (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
if actual_area != expected_area:
return False
return True

这段代码中,我们用一个 points 集合记录 rectangles 中小矩形组成的最终图形的顶点坐标,关键逻辑在于如何向 points 中添加坐标:

如果某一个顶点 p 存在于集合 points 中,则将它删除;如果不存在于集合 points 中,则将它插入

这个简单的逻辑,让 points 集合最终只会留下那些出现了 1 次或者 3 次的顶点,那些出现了 2 次或者 4 次的顶点都被消掉了。

那么首先想到,points 集合中最后应该只有 4 个顶点对吧,如果 len(points) != 4 说明最终构成的图形肯定不是完美矩形。

但是如果 len(points) == 4 是否能说明最终构成的图形肯定是完美矩形呢?也不行,因为题目并没有说 rectangles 中的小矩形不存在重复,比如下面这种情况:

下面两个矩形重复了,按照我们的算法逻辑,它们的顶点都被消掉了,最终是剩下了四个顶点;再看面积,完美矩形的理论坐标是图中红色的点,计算出的理论面积和实际面积也相同。但是显然这种情况不是题目要求完美矩形。

所以不仅要保证 len(points) == 4,而且要保证 points 中最终剩下的点坐标就是完美矩形的四个理论坐标,直接看代码吧:

def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool:
X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')
points = set()
actual_area = 0
for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
# 计算完美矩形的理论顶点坐标
X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)
# 累加小矩形的面积
actual_area += (x2 - x1) * (y2 - y1)
# 记录最终形成的图形中的顶点
p1, p2 = (x1, y1), (x1, y2)
p3, p4 = (x2, y1), (x2, y2)
for p in [p1, p2, p3, p4]:
if p in points: points.remove(p)
else: points.add(p)
# 判断面积是否相同
expected_area = (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
if actual_area != expected_area:
return False
# 判断最终留下的顶点个数是否为 4
if len(points) != 4: return False
# 判断留下的 4 个顶点是否是完美矩形的顶点
if (X1, Y1) not in points: return False
if (X1, Y2) not in points: return False
if (X2, Y1) not in points: return False
if (X2, Y2) not in points: return False
# 面积和顶点都对应,说明矩形符合题意
return True

这就是最终的解法代码,从「面积」和「顶点」两个维度来判断:

1、判断面积,通过完美矩形的理论坐标计算出一个理论面积,然后和 rectangles 中小矩形的实际面积和做对比。

2、判断顶点,points 集合中应该只剩下 4 个顶点且剩下的顶点必须都是完美矩形的理论顶点。

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