字符串乘法计算

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:

43.字符串相乘(中等)

对于比较小的数字,做运算可以直接使用编程语言提供的运算符,但是如果相乘的两个因数非常大,语言提供的数据类型可能就会溢出。一种替代方案就是,运算数以字符串的形式输入,然后模仿我们小学学习的乘法算术过程计算出结果,并且也用字符串表示。

需要注意的是,num1num2 可以非常长,所以不可以把他们直接转成整型然后运算,唯一的思路就是模仿我们手算乘法。

比如说我们手算 123 × 45,应该会这样计算:

计算 123 × 5,再计算 123 × 4,最后错一位相加。这个流程恐怕小学生都可以熟练完成,但是你是否能把这个运算过程进一步机械化,写成一套算法指令让没有任何智商的计算机来执行呢?

你看这个简单过程,其中涉及乘法进位,涉及错位相加,还涉及加法进位;而且还有一些不易察觉的问题,比如说两位数乘以两位数,结果可能是四位数,也可能是三位数,你怎么想出一个标准化的处理方式?这就是算法的魅力,如果没有计算机思维,简单的问题可能都没办法自动化处理。

首先,我们这种手算方式还是太「高级」了,我们要再「低级」一点,123 × 5123 × 4 的过程还可以进一步分解,最后再相加:

现在 123 并不大,如果是个很大的数字的话,是无法直接计算乘积的。我们可以用一个数组在底下接收相加结果:

整个计算过程大概是这样,有两个指针 i,jnum1num2 上游走,计算乘积,同时将乘积叠加到 res 的正确位置

现在还有一个关键问题,如何将乘积叠加到 res 的正确位置,或者说,如何通过 i,j 计算 res 的对应索引呢?

其实,细心观察之后就发现,num1[i]num2[j] 的乘积对应的就是 res[i+j]res[i+j+1] 这两个位置

明白了这一点,就可以用代码模仿出这个计算过程了:

string multiply(string num1, string num2) {
int m = num1.size(), n = num2.size();
// 结果最多为 m + n 位数
vector<int> res(m + n, 0);
// 从个位数开始逐位相乘
for (int i = m - 1; i >= 0; i--)
for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
int mul = (num1[i]-'0') * (num2[j]-'0');
// 乘积在 res 对应的索引位置
int p1 = i + j, p2 = i + j + 1;
// 叠加到 res 上
int sum = mul + res[p2];
res[p2] = sum % 10;
res[p1] += sum / 10;
}
// 结果前缀可能存的 0(未使用的位)
int i = 0;
while (i < res.size() && res[i] == 0)
i++;
// 将计算结果转化成字符串
string str;
for (; i < res.size(); i++)
str.push_back('0' + res[i]);
return str.size() == 0 ? "0" : str;
}

至此,字符串乘法算法就完成了。

总结一下,我们习以为常的一些思维方式,在计算机看来是非常难以做到的。比如说我们习惯的算术流程并不复杂,但是如果让你再进一步,翻译成代码逻辑,并不简单。算法需要将计算流程再简化,通过边算边叠加的方式来得到结果。

俗话教育我们,不要陷入思维定式,不要程序化,要发散思维,要创新。但我觉得程序化并不是坏事,可以大幅提高效率,减小失误率。算法不就是一套程序化的思维吗,只有程序化才能让计算机帮助我们解决复杂问题呀!

也许算法就是一种寻找思维定式的思维吧,希望本文对你有帮助。

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